Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），A是拋物線C上的一個動點，且點A到點B（0，2）的距離與點A到拋物線C的準線的距離之和的最小值為

17

2

．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若P、Q是拋物線C上的兩動點，且滿足OP⊥OQ，求證：直線PQ過定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）拋物線的焦點為F(

p

2

，0)，當BF與拋物線相交于點A時，點A到點B（0，2）的距離與點A到拋物線C的準線的距離之和取得最小值為

17

2

．利用兩點之間的距離公式即可得出．
（2）設直線PQ的方程為：my=x+n（m≠0），P(

y 2 1

2

，y1)，Q(

y 2 2

2

，y2)．利用

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=0，y₁y₂=-4．聯立

my=x+n y2=2x

，可得y₁y₂=2n，即可得出．

解答： （1）解：拋物線的焦點為F(

p

2

，0)，
∵當BF與拋物線相交于點A時，點A到點B（0，2）的距離與點A到拋物線C的準線的距離之和取得最小值為

17

2

．
∴

p2 4 +22

=

17

2

，解得p=1．
∴拋物線C的標準方程為y²=2x．
（2）證明：設直線PQ的方程為：my=x+n（m≠0），P(

y 2 1

2

，y1)，Q(

y 2 2

2

，y2)．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=

(y1y2)2

4

+y1y2=0，（y₁y₂≠0）．
化為y₁y₂=-4．
聯立

my=x+n y2=2x

，
化為y²-2my+2n=0，
∴y₁y₂=2n，
∴2n=-4，
解得n=-2．
∴直線PQ過定點（2，0）．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．