Question

給出下列命題：
①函數y=f（x）的圖象與函數y=f（x-2）+3的圖象一定不會重合；
②函數y=log

1

2

（-x²+2x+3）的單調區間為（1，+∞）；
③

∫

0 -π

（cosx+e^x）dx=1-e^-π；
④雙曲線的漸近線方程是y=±

3

4

x，則該雙曲線的離心率是

5

4

．
其中正確命題的序號是

 

（把你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程,概率與統計

分析：①，令f（x）=

3

2

x，g（x）=f（x-2）+3，整理可得g（x）=f（x），可判斷①；
②，先求函數y=log

1

2

（-x²+2x+3）的定義域，再確定其單調區間，可判斷②；
③，利用微積分基本定理計算

∫

0 -π

（cosx+e^x）dx=1-e^-π，可判斷③；
④，雙曲線的漸近線方程是y=±

3

4

x，則y=±

b

a

x=±

3

4

x或y=±

a

b

x=±

3

4

x，從而可求得則該雙曲線的離心率，可判斷④．

解答： 解：對于①，令f（x）=

3

2

x，則g（x）=f（x-2）+3=

3

2

（x-2）+3=

3

2

x=f（x），此時函數y=f（x）的圖象與函數y=f（x-2）+3的圖象重合，故①錯誤；
對于②，由-x²+2x+3＞0得：-1＜x＜3，所以函數y=log

1

2

（-x²+2x+3）的單調減區間為（-1，1），增區間為（1，3），故②錯誤；
對于③，

∫

0 -π

（cosx+e^x）dx=（sinx+e^x）

|

0 -π

=1-e^-π，故③正確；
對于④，雙曲線的漸近線方程是y=±

3

4

x，則該雙曲線的離心率e=

42+33

4

=

5

4

或e=

42+33

3

=

5

3

，故④錯誤．
故答案為：③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查函數的平移變換、復合函數的單調性、微積分基本定理的應用及雙曲線的幾何性質，考查轉化思想．