Question

設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ≤π）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設△ABC的內角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，若a≥b=

3

，f（

B

2

）=

6 + 2

2

，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）根據三角函數的圖象，求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（

B

2

）求出B的值，根據三角函數的恒等變換，結合正弦、余弦定理，求出△ABC周長l的表達式，求出l的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）根據題意得，
A=2，

T

2

=

5π

8

-

π

8

=

π

2

，
∴T=π；
即

2π

ω

=π，
∴ω=2；
令ωx+φ=2×

π

8

+φ=

π

2

，
解得φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

4

π）；
（Ⅱ）∵f（

B

2

）=2sin（B+

π

4

）=

6 + 2

2

，
∴sin（B+

π

4

）=

6 + 2

4

；
又在△ABC中，a≥b=

3

，∴0＜B＜

π

2

，
∴

π

4

＜B+

π

4

＜

3π

4

，
∴B+

π

4

=

7π

12

，或B+

π

4

=

5π

12

；
∴B=

π

3

，或

π

6

；
當B=

π

3

時，由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴a=2sinA，b=2sinC，
∴△ABC周長是l=a+b+c=

3

+2sinA+2sinC
=

3

+2sinA+2sin（

2π

3

-A）
=

3

+3sinA+

3

cosA
=

3

+2

3

sin（A+θ）≤

3

+2

3

=3

3

，其中tanθ=

3

3

，
∴當A=

π

3

時周長取最大值；
當B=

π

6

時，由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

1 2

=2

3

，
∴a=2

3

sinA，b=2

3

sinC，
∴△ABC周長是l=a+b+c=

3

+2

3

sinA+2

3

sinC
=

3

+2

3

sinA+2

3

sin（

5π

6

-A）
=

3

+（2

3

-3）sinA-

3

cosA
=

3

-

15-12 3

sin（A+θ），tanθ=

3

2 3 -3

=2+

3

；
∴θ=

5π

12

，當A=

π

6

時，周長取得最大值

3

+

3

+

3

•

3

=2

3

+3；
綜上，B=

π

3

時，△ABC周長的最大值是3

3

，B=

π

6

時，△ABC周長的最大值是2

3

+3．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了解三角形的應用問題，解題時應靈活應用三角函數的綜合知識，是較難的題目．