Question

18．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常數）圖象上的一個最高點為（$\frac{π}{6}$，1），與其相鄰的最低點是（$\frac{2π}{3}$，-3）．
（1）求函數f（x）的解析式及其對稱中心；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$ac，試求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數f（x）化簡，圖象上的一個最高點為（$\frac{π}{6}$，1），可得C的值，與其相鄰的最低點是（$\frac{2π}{3}$，-3）．可得周期．從而得到f（x）的解析式．根據三角函數的圖象及性質可得對稱中心；
（2）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$ac，利用夾角公式，可得cosB的值，即B的值，利用f（x）的解析式可求解．

解答 解：（1）函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常數）
化簡得：f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+c；
∵2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，即f（x）的最大值為2+c．
函數f（x）圖象上的一個最高點為縱坐標為1，即最大值為1，
則有：2+c=1，解得：c=-1．
∵最高點為（$\frac{π}{6}$，1），與其相鄰的最低點為（$\frac{2π}{3}$，-3）．
∴$\frac{1}{2}T=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$，
解得：T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2
故得：函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1；
對稱中心：2x+$\frac{π}{6}$=kπ，（k∈Z）
解得：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$．
故得：函數f（x）的對稱中心坐標為（$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$，-1）（k∈Z）．
（2）由（1）可得函數f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-1；
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$ac，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{BC}|•COSB$，
∴-ac•cosB=-$\frac{1}{2}$ac，
可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
故得：B=$\frac{π}{3}$．
∴A∈（0，$\frac{2π}{3}$）
2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），
∴函數f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-1的值域（-3，1]．
即函數f（A）的取值范圍是（-3，1]．

點評 本題考查了三角函數的化簡能力和性質的綜合運用能力，向量的夾角公式的運用．屬于中檔題．