Question

10．已知斜率為1的直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于位于x軸上方的不同兩點A，B，記直線OA，OB的斜率分別為K₁，K₂，則K₁+K₂的取值范圍是（4，+∞）．

Answer 1

分析 直線方程為y=x+b，即x=y-b，代入拋物線y²=2px，可得y²-2py+2pb=0，由△=4p²-8pb＞0，求得p＞2b，利用韋達定理，結合斜率公式，即可求出K₁+K₂的取值范圍．

解答 解：設直線方程為y=x+b，即x=y-b，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=y-b}\end{array}\right.$，整理得y²-2py+2pb=0，
△=4p²-8pb＞0，
∵p＞0，
解得：p＞2b
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=2p，y₁y₂=2pb，
K₁+K₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}（{y}_{2}-b）+（{y}_{1}-b）{y}_{2}}{（{y}_{1}-b）（{y}_{2}-b）}$=$\frac{2{y}_{1}{y}_{2}-b（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-b（{y}_{1}+{y}_{2}）+{b}^{2}}$=$\frac{4pb-2pb}{2pb-2pb+{b}^{2}}$=$\frac{2p}{b}$＞4．
∴K₁+K₂的取值范圍為：（4，+∞），
故答案為：（4，+∞）．

點評 本題考查斜率的計算，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題