Question

10．如圖（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=8，AD=CD=4，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖（b）所示．
（1）求證：BC⊥平面ACD； 
（2）求幾何體D-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥BC，利用平面與平面垂直的性質定理，證明BC⊥平面ACD．
（2）由（1）可知，BC為三棱錐B-ACD的高，求出BC，S_△ACD，即可求解V_B-ACD，由等體積性可知，求解幾何體D-ABC的體積．

解答 解：（1）證明：在圖中，可得AC=BC=4$\sqrt{2}$，從而AC²+BC²=AB²，
故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACD…（6分）
（2）解：由（1）可知，BC為三棱錐B-ACD的高，BC=4$\sqrt{2}$，S_△ACD=8，
∴V_B-ACD=$\frac{1}{3}$S_△ACD•BC=$\frac{1}{3}$×8×4$\sqrt{2}$=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$，
由等體積性可知，幾何體D-ABC的體積為$\frac{32\sqrt{2}}{3}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，平面與平面垂直的性質定理的應用，幾何體的體積的求法，考查計算能力．