Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．設M是底面ABC內一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（

1

2

，x，y），若

1

y

+

a

x

≥8恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：先根據三棱錐的特點求出其體積，然后利用基本不等式求出

1

y

+

a

x

的最值，建立關于a的不等關系，解之即可．

解答： 解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．
∴V _P-ABC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1=

1

2

+x+y，
即x+y=

1

2

，則2x+2y=1，

1

y

+

a

x

=（

1

y

+

a

x

）（2x+2y）=

2x

y

+2a+2+

2ay

x

≥2+2a+4

a

≥8，
解得a≥1或a≤-3（舍）
∴實數a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題主要考查了棱錐的體積，同時考查了基本不等式的運用，是題意新穎的一道題目，屬于中檔題．