Question

解方程組

b+ 3 a-3 = 3 (a-1)2+b2 =1+ |a+ 3 b| 2

．

Answer 1

考點：根式與分數指數冪的互化及其化簡運算

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由方程的幾何意義根據坐標軸旋轉得到方程組在新系下的方程，聯立后求得交點坐標，還原后得答案．

解答： 解：方程

(a-1)2+b2

=1+

|a+ 3 b|

2

的幾何意義為動點（a，b）到定點（1，0）的距離等于動點（a，b）到定直線a+

3

b=0的距離加1，
令

a′=acos(- π 6 )+bsin(- π 6 ) b′=-asin(- π 6 )+bcos(- π 6 )

，
則定點（1，0）化為（

3

2

，

1

2

），定直線a+

3

b=0化為b′=0，
則方程

(a-1)2+b2

=1+

|a+ 3 b|

2

在新坐標系下的方程為(a′-

3

2

)2=

3

2

(b′-

3

4

)  ①，
方程

b+ 3

a-3

=

3

化為：a′=2

3

  ②，
聯立①②得：

a′=2 3 b′= 21 4

．
則a=

3

2

a′+

1

2

b′=

45

8

，b=

3

2

b′-

1

2

a′=

13 3

8

．
∴原方程組的解為

a= 45 8 b= 13 3 8

．

點評：本題考查了拋物線的幾何意義，考查了坐標軸旋轉問題，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．