Question

已知函數f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin2x+sinxcosx+1．
（1）求函數f（x）取得最大值時x的集合；
（2）當x∈[0，

π

12

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1，由2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

12

，k∈Z
（2）由x∈[0，

π

12

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，從而可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin2x+sinxcosx+1=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

-

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x+1=2sin（2x+

π

3

）+1
∴由2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

12

，k∈Z
即：當x∈{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}時，數f（x）取得最大值3．
（2）∵由x∈[0，

π

12

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，有

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴

3

+1≤f（x）≤3，即f（x）的值域為[

3

+1，3]．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數，三角函數的最值，屬于基本知識的考查．