Question

如圖,矩形是一個觀光區的平面示意圖,建立平面直角坐標系,使頂點在坐標原點分別為軸、軸,(百米),(百米)()觀光區中間葉形陰影部分是一個人工湖,它的左下方邊緣曲線是函數的圖象的一段.為了便于游客觀光,擬在觀光區鋪設一條穿越該觀光區的直路(寬度不計),要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切(切點記為),并把該觀光區分為兩部分,且直線左下部分建設為花圃.記點到的距離為表示花圃的面積.

（1）求花圃面積的表達式；

（2）求的最小值.

 

 

Answer 1

（1） ；（2）

【解析】

試題分析：（1）為了求花圃的面積，首先判斷直線左下部分花圃的形狀，故先求過點的求切線方程，根據橫截距和縱截距的取值范圍分為三類：①；②；③，花圃形狀分別為直角三角形、直角梯形、直角梯形，因其面積表達式不同，故分類三類，并以分段函數的形式給出；（2）分段函數是一個函數，故可分段來求最小值，再比較，哪個值最小，哪個即最小值．當時，，；利用導數來求最小值；當時，，利用二次函數的圖象來求最小值．

（1）由題意可設,又因,所以過點的切線方程為

,即,

切線與軸交于點,與軸交于點,

①當,即時,切線左下方區域為直角三角形.

所以;

②當,即時,切線左下方區域為直角梯形.

所以;

③當,即時,切線左下方區域為直角梯形.

所以;

綜上有, 7分

（2）①當時,,當時,;

②當時,,

所以在上遞減,所以,

下面比較與的大小,由于,

所以可知即求. 13分

考點：1、分段函數；2、二次函數；3、利用導數求函數的最值.