Question

19．如圖，平面ABCD⊥平面BCF，四邊形ABCD是菱形，∠BCF=90°．
（1）求證：BF=DF；
（2）若點E為AF的中點，∠BCD=60°，且BC=CF=2，求四面體BDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，OF，設(shè)AC∩BD=O，推導(dǎo)出CF⊥平面ABCD，從而平面BCF⊥平面ABCD，推導(dǎo)出BD⊥AC，從而BD⊥平面BCF，進而BD⊥OF，由此能證明BF=DF．
（2）由點E為AF的中點，知四面體BDEF的體積${V_{B-DEF}}={V_{B-AED}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{2}{V_{F-ABD}}$，由此能求出四面體BDEF的體積．

解答 證明：（1）連接AC，OF，設(shè)AC∩BD=O，
∵平面ABCD⊥平面BCF，且交線為BC，∠BCF=90°，
∴CF⊥平面ABCD，CF?平面BCF，
∴平面BCF⊥平面ABCD，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面BCF，∴BD⊥OF，
又BO=DO，∴BF=DF．
解：（2）∵點E為AF的中點，
∴點F到平面ABCD的距離是E到平面ABCD的距離的2倍，
∴四面體BDEF的體積${V_{B-DEF}}={V_{B-AED}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{2}{V_{F-ABD}}$，
由（1）知CF⊥平面ABCD．
∴${V_{B-DEF}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴四面體BDEF的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查線段相等的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想是，是中檔題．