Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以橢圓的

左頂點(diǎn)為圓心作圓，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，且直線、分別與軸交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.

 

 

Answer 1

（1）；（2）的最小值為，此時圓的方程為；

（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用圓的方程的求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、的關(guān)系求出，最后確定橢圓的方程；（2）先根據(jù)點(diǎn)、的對稱性，設(shè)點(diǎn)，將表示為的二次函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，利用二次函數(shù)求出的最小值，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定圓的方程；（3）設(shè)點(diǎn)，求出、的方程，從而求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)在橢圓上來證明為定值.

（1）依題意，得，，，，

故橢圓的方程為；

（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)、， 不妨設(shè)，

由于點(diǎn)在橢圓上，所以， （*）

由已知，則，，

，

，

由于，故當(dāng)時，取得最小值為，

由（*）式，，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到，

故圓的方程為：；

（3）設(shè)，則直線的方程為：，

令，得， 同理：，

故 （**）

又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，，

代入（**）式，得：

所以為定值.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.平面向量的數(shù)量積；3.直線與橢圓的位置關(guān)系