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18.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosA=$\sqrt{3}$asinB.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC面積的最大值.

分析 (1)根據正弦定理化簡可得$\sqrt{3}$sinAsinB=sinBcosA,結合sinB≠0,可求tanA,由范圍0<A<π,可求A的值.
(2)由已知利用余弦定理,基本不等式可求bc≤2$+\sqrt{3}$,進而利用三角形面積公式即可計算得解.

解答 解:(1)在△ABC中,∵$\sqrt{3}$asinB=bcosA.
由正弦定理,得:$\sqrt{3}$sinAsinB=sinBcosA,
∵0<B<π,sinB≠0.
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA,即tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵0<A<π,
∴A=$\frac{π}{6}$.
(2)∵由a=1,A=$\frac{π}{6}$,
∴由余弦定理,1=b2+c2-$\sqrt{3}$bc≥2bc-$\sqrt{3}$bc,得:bc≤2$+\sqrt{3}$,當且僅當b=c等號成立,
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$(2+$\sqrt{3}$)×$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$,即△ABC面積的最大值為$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$.

點評 本題主要考查了正、余弦定理和內角和定理,三角形面積公式,基本不等式在解三角形中的綜合運用,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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