Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁=-

2

3

，且滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．則S₂₀₁₄等于（　　）

• A、-

  2012

  2013

• B、-

  2013

  2014

• C、-

  2014

  2015

• D、-

  2015

  2016

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入可得Sn+

1

Sn

+2=Sn-Sn-1，化為S_n（S_n-1+2）=-1．分別得出S₁，S₂，S₃，…，即可得出S_n．

解答：解：∵數列{a_n}滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），
a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn+

1

Sn

+2=Sn-Sn-1，
化為S_n（S_n-1+2）=-1．
∵S1=a1=-

2

3

，∴S2(2-

2

3

)=-1，解得S2=-

3

4

．
同理可得S3=-

4

5

．
…，
可得Sn=-

n+1

n+2

．
∴S₂₀₁₄=-

2015

2016

．
故選：D．

點評：本題考查了數列的遞推式、猜想論證推理能力、計算能力，屬于難題．