Question

10．不等式選講已知函數f（x）=|2x+a|-a
（1）當a=2時，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）設函數g（x）=|2x-1|，當x∈R時f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，解不等式|2x+2|-2≤6得-5≤x≤3，即可求不等式f（x）≤6的解集；
（2）當x∈R時，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|≥|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a，當$x=\frac{1}{2}$時等號成立，所以當x∈R時f（x）+g（x）≥3等價于|a+1|-a≥3，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=|2x+2|-2
解不等式|2x+2|-2≤6得-5≤x≤3
因此不等式f（x）≤6的解集為{x|-5≤x≤3}…（5分）
（2）當x∈R時，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|≥|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a
當$x=\frac{1}{2}$時等號成立，所以當x∈R時f（x）+g（x）≥3等價于|a+1|-a≥3
當a≤-1時，a≤-2
當a＞-1時，無解，
所以a∈（-∞，-2]…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．