Question

10．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點作圓x²+y²=a²的兩條切線，切點分別為A，B，若∠AOB=120°（O是坐標原點），則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據題意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的$\frac{a}{c}$值，進而可求得雙曲線的離心率

解答 解：如圖，由題知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，又OA=a，
OF=c，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{OA}{OF}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，
故選：A

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的過程中采用了數形結合的思想，使問題的解決更直觀．