Question

15．已知圓C關于y軸對稱，經過拋物線y²=4x的焦點，且被直線y=x分成兩段弧長之比為1：2
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）若圓C的圓心在x軸下方，過點P（-1，2）作直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意設出圓的標準方程，圓c關于y軸對稱，經過拋物線y²=4x的焦點，被直線y=x分成兩段弧長之比為1：2，寫出a，r的方程組，解方程組得到圓心和半徑；
（Ⅱ）圓C的方程為x²+（y+1）²=2．設直線l方程為y-2=k（x+1），利用過點P（-1，2）作直線l與圓C相切，建立方程，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設圓C的方程為x²+（y-a）²=r²
∵拋物線y²=4x的焦點F（1，0）
∴1+a²=r² ①
又直線y=x分圓的兩段弧長之比為1：2，
可知圓心到直線y=x的距離等于半徑的$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\frac{|r|}{2}$  ②
解①、②得a=±1，r²=2 
∴所求圓的方程為x²+（y±1）²=2；
（Ⅱ）圓C的方程為x²+（y+1）²=2．
設直線l方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，則$\frac{|0+1+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-1或7，
∴直線l的方程為x+y-1=0或7x-y+9=0．

點評 本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．