Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）用函數單調性定義證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數成立的條件進行求解即可．
（Ⅱ）根據函數奇偶性的定義進行證明．
（Ⅲ）根據函數單調性的定義進行證明．

解答 解：（Ⅰ）由1-x²≠0，得x≠±1，即f（x）的定義域{x|x≠±1}…（4分）；
（Ⅱ）f（x）為偶函數．
∵f（x）定義域關于原點對稱，且f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數；…（8分）
（III）證明：f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2-（1-{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1，
設1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1-{x}_{1}^{2}}$-$\frac{2}{1-{x}_{2}^{2}}$
=2（$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）}$）$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）（1+{x}_{2}）}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1-x₂＜0，1-x₁＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
則函數f（x）在（1，+∞）上是增函數．

點評 本題主要考查函數定義域，奇偶性和單調性的判斷和證明，利用相應的定義是解決本題的關鍵．