Question

2．[示范高中]設x＞y＞z，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{n}{x-z}$（n∈N^*）恒成立，則n的最大值為3．

Answer 1

分析 .根據題意，將$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{n}{x-z}$變形為n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]，令t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]，由基本不等式的性質分析可得t的最小值，進而分析可得若n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]恒成立，必有n＜4，又由n∈N^*分析可得答案．

解答 解：根據題意，若$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{n}{x-z}$（n∈N^*）恒成立，
則有n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]恒成立，
令t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]，
則有t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]=[（x-y）+（y-z）][$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]=2+（$\frac{x-y}{y-z}$+$\frac{y-z}{x-y}$）≥2+2=4，
即t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]有最小值4，
若n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]恒成立，必有n＜4，
故n的最大值為3，
故答案為：3．

點評 本題考查基本不等式的性質，注意基本不等式使用的條件．