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12.已知a>0,b>0,
(1)求證:$\frac{{a}^{2}}{b}$$+\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b
(2)求證:$\frac{1}{a}$$+\frac{4}{b}$$≥\frac{9}{a+b}$.

分析 (1)去分母,尋找使不等式成立的條件,利用分析法證明;
(2)兩邊同乘(a+b),利用基本不等式得出,也可用分析法得出.

解答 證明:(1)要證:$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b,
只需證:a3+b3≥a2b+ab2
只需證:a2(a-b)+b2(b-a)≥0,
即證:(a-b)(a2-b2)≥0,
即證:(a-b)2(a+b)≥0,
顯然上式恒成立,
∴$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b.
(2)欲證:$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥$\frac{9}{a+b}$,
只需證:($\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$)(a+b)≥9,
即證:$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+5≥9,
即證:$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$≥4,
∵a>0,b>0,
∴$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$≥4.
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥$\frac{9}{a+b}$.

點評 本題考查了不等式的證明,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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