Question

15．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=si{n}^{2}α}\end{array}\right.$（α為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C₃：ρ=2sinθ
（1）求曲線C₁與C₂的交點M在直角坐標系xoy中的坐標；
（2）設點A，B分別為曲線C₂，C₃上的動點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）將曲線C₁消去參數，即可求得曲線的普通方程，求得曲線C₂的直角坐標方程，聯立即可求得M點坐標；
（2）求得曲線C₃的直角坐標方程，利用點的坐標公式，圓心到直線的距離，即可求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=si{n}^{2}α}\end{array}\right.$（α為參數），消去參數α，
整理得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
曲線C₂：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則x+y+1=0，②
聯立①②，消去y可得：x²-x-2=0，x=-1，x=2（舍去），
∴M（-1，0）；
（2）曲線C₃：ρ=2sinθ，則x²+（y-1）²=1，則以（0，1）為圓心，半徑r=1，
設圓心C，點C，B到直線x+y+1=0的距離分別為d，d′
則d=$\frac{丨0+1+1丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
丨AB丨≥d′≥d-r=$\sqrt{2}$-1，
∴丨AB丨的最小值為$\sqrt{2}$-1

點評 本題考查拋物線的參數方程，圓的極坐標方程，直線圓的位置關系，考查計算能力，屬于基礎題．