Question

19．在某項調查活動中，調查部門從某單位500名職工中隨機抽出100名職工，得職工年齡頻率分布表．

分組（單位：歲）	頻數	頻率
[20，25）	5	0.050
[25，30）	①	0.200
[30，35）	35	②
[35，40）	30	0.300
[40，45）	10	0.100
合計	100	1.00

（Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應填什么數據？并在答題紙中補全頻率分布直方圖，再根據頻率分布直方圖估計這500名職工中年齡在[30，35）歲的人數；
（Ⅱ）在抽出的100名職工中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加社會公益活動，其中選取2名職工擔任領隊工作，記這2名職工中“年齡低于30歲”的人數為X，求X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件真假在①處填20，②處填0.350；補全頻率分布直方圖．求出500名職工中年齡在[30，35）的人數．
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“年齡低于30歲”的有5人，“年齡不低于30歲“的有15人．故X的可能取值為0，1，2；求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）①處填20，②處填0.350；…（2分）
補全頻率分布直方圖如圖所示：

…（4分）
500名職工中年齡在[30，35）的人數為0.35×500=175人，…（6分）
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“年齡低于30歲”的有5人，“年齡不低于30歲“的有15人．故X的可能取值為0，1，2；$P（X=0）=\frac{{C_{15}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{42}{76}=\frac{21}{38}$．$P（X=1）=\frac{{C_{15}^1C_5^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{30}{76}=\frac{15}{38}$．$P（X=2）=\frac{C_5^2}{{C_{20}^2}}=\frac{4}{76}=\frac{1}{19}$…（9分）
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

…（10分）
所以$E（X）=0×\frac{21}{38}+1×\frac{15}{38}+2×\frac{1}{19}=\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查分層抽樣，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，頻率分布直方圖的應用，考查計算能力．