Question

7．某省組織了一次高考模擬考試，該省教育部門抽取了1000名考生的數學考試成績，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求樣本中數學成績在95分以上（含95分）的學生人數；
（Ⅱ）已知本次模擬考試全省考生的數學成績X～N（μ，σ²），其中μ近似為樣本的平均數，σ²近似為樣本方差，試估計該省的所有考生中數學成績介于100～138.2分的概率；
（Ⅲ）以頻率估計概率，若從該省所有考生中隨機抽取4人，記這4人中成績在[105，125）內的人數為X，求X的分布列及數學期望．
參考數據：$\sqrt{356}$≈18.9，$\sqrt{366}$≈19.1，$\sqrt{376}$≈19.4．
若Z∽N（μ，σ²），則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9976．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出成績在95分以下（不含95分）的頻率，由此能求出樣本中數學成績在95分以上（含95分）的學生人數．
（Ⅱ）先分別求出$\overline{x}$，S²，從而X～N（100，366），由此能求出p（100＜x＜138.2）的值．
（Ⅲ）成績在[105，125）內的頻率是0.25，故X～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）依題意，成績在95分以下（不含95分）的頻率為：
（0.002+0.008+0.014+0.015）×10=0.39，
∴樣本中數學成績在95分以上（含95分）的學生人數為：
1000×（1-0.39）=610．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
S²=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+0×0.24+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366．
∴X～N（100，366），故p（100＜x＜138.2）=$\frac{0.9544}{2}$=0.4772．
（Ⅲ）依題意，成績在[105，125）內的頻率是0.25，故X～B（4，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=（$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{3}{64}$，
P（X=4）=（$\frac{1}{4}$）⁴=$\frac{1}{256}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

∵X～B（4，$\frac{1}{4}$），∴E（X）=4×$\frac{1}{4}$=1．

點評 本題考查頻率分布直方圖、二項分布、正態分布，著重考查運算求解能力以及數據處理能力，是中檔題．