Question

5．在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$的正方形，且各側(cè)棱長(zhǎng)均為2$\sqrt{3}$，求該四棱錐外接球的表面積．

Answer 1

分析 先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據(jù)勾股定理解出球的半徑，最后根據(jù)球的面積公式解之即可．

解答 解：正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
記球心為O，PO=AO=R，
∵PA=2$\sqrt{3}$，AB=BC=3$\sqrt{2}$，
故PO₁=$\sqrt{12-9}$=$\sqrt{3}$，
∴OO₁=R-$\sqrt{3}$，或OO₁=$\sqrt{3}$-R（此時(shí)O在PO₁的延長(zhǎng)線上），
在Rt△AO₁O中，R²=9+（R-$\sqrt{3}$）²得R=2$\sqrt{3}$，
∴球的表面積S=48π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查球的表面積，球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題．