Question

已知P是橢圓

x2

4

+y²=1上第一象限內的點，A（2，0），B（0，1），O為原點，則四邊形OAPB面積的最大值為（　　）

• A、2
• B、

  2

  +2
• C、

  2

• D、1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用三角函數來解答這道題，橢圓方程

x2

4

+y²=1上的點的自變量x，y可以表示為 x=2cosα，y=sinα 本題中要求第一象限，這樣就應該有0＜a＜π，設P為（2cosα，sinα）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，對于三角形OAP有面積S₁=sinα，對于三角形OBP有面積S₂=cosα 這樣四邊形的面積S=S₁+S₂=sinα+cosα也就相當于求解sinα+cosα的最大值，0＜a＜π，sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）這樣其最大值就應該為

2

，并且當且僅當α=

π

4

時成立．

解答： 解：由于點P是橢圓

x2

4

+y²=1上的在第一象限內的點，
 設P為（2cosα，sinα）即x=2cosα y=sinα （0＜α＜π），
這樣四邊形OαPB的面積就可以表示為兩個三角形OαP和OPB面積之和，
對于三角形OαP有面積S₁=sinα 對于三角形OBP有面積S₂=cosα
∴四邊形的面積S=S₁+S₂=sinα+cosα
=

2

sin（α+

π

4

）
其最大值就應該為

2

，
并且當且僅當α=

π

4

成立．所以，面積最大值

2

．
故選：C．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解答的關鍵在于利用橢圓的參數方程設出橢圓上一點的坐標，利用三角函數的有界性求最值．