Question

已知函數

(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；

(2)若g(x)=f(x)一有兩個不同的極值點．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；

(3)設q>p>2，求證：當x∈(p，q)時，.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值、利用導數求曲線的切線方程等數學知識，考查學生分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，先對求導，將代入到中得到切線的斜率，將代入到中得到切點的縱坐標，最后利用點斜式，直接寫出切線方程；第二問，對求導，由于有2個不同的極值點，所以有2個不同的根，即在有兩個不同的根，所以且，可以解出a的取值范圍，所以根據的單調性判斷出為極小值，通過函數的單調性求最值，從而比較大小；第三問，用分析法證明分析出只須證，構造函數，利用函數的單調性證明，同理再證明，最后利用不等式的傳遞性得到所證不等式.

試題解析：（1）易知，

所求的切線方程為，即 4分

（2）易知，

有兩個不同的極值點

在有兩個不同的根

則且 解得 6分

在遞增，遞減，遞增

的極小值

又

則，在遞減

，故 9分

（3）先證明：當時，

即證：

只需證：

事實上，設

易得，在內遞增

即原式成立 12分

同理可以證明當時，

綜上當時，. 14分

考點：1.利用導數判斷函數的單調性；2.利用導數求函數的極值和最值；3.利用導數求曲線的切線.