Question

6．函數f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的圖象與直線y=m相切，相鄰切點之間的距離為π，
（1）求m和ω的值，
（2）求函數的單調增區間，
（3）問：試否存在實數n，使得函數f（x）的圖象與直線$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，若能，請求出n的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象與直線y=m相切，相鄰切點之間的距離為π，可得周期為2π，再利用周期公式可得m和ω的值，
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（3）利用導函數求出f（x）的切線方程，可得斜率范圍，圖象與直線$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，看該直線的斜率是否在范圍之內，可得結論．

解答 解：函數f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）
（1）∵圖象與直線y=m相切，直線y=m必過頂點，
故得m=±1；
∵相鄰切點之間的距離為π，可知周期為π，即$\frac{2}{2ω}$=π，
解得：ω=1．
可得函數f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
（2）由（1）可得函數f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
根據正弦函數的圖象及性質可得：2x$-\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是單調遞增，
即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
故得函數f（x）的單調增區間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．
（3）不存在實數n這樣的數；
∵函數f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
f′（x）=2cos（2x$-\frac{π}{6}$）
∴曲線f（x）的斜率范圍是[-2，2]．
如果圖象與直線$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，必然斜率在其范圍之內，
而直線$\sqrt{6}$x+y+n=0的斜率k=$-\sqrt{6}$∉[-2，2]．
∴直線$\sqrt{6}$x+y+n=0與圖象不相切．
故而不存在實數n．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．同時考查了導函數的幾何意義，切線問題，屬于中檔題．