Question

8．某班有30名同學參加數學競賽，他們的成績統計如表所示，若此次競賽成績在80分及以上為優秀，低于80分為非優秀．

編號	性別	得分	編號	性別	得分	編號	性別	得分
1	男	93	11	女	65	21	女	88
2	女	95	12	女	88	22	女	82
3	男	87	13	女	71	23	男	75
4	男	82	14	男	83	24	女	62
5	男	80	15	女	79	25	女	78
6	女	92	16	男	65	26	男	83
7	男	73	17	女	85	27	女	99
8	女	74	18	男	77	28	男	69
9	女	76	19	男	98	29	女	73
10	女	72	20	男	81	30	女	75

（1）請你根據上述數據完成下列2×2的列聯表，判斷是否能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為數學競賽成績和性別有關．

	優秀	非優秀	合計
男
女
合計

（2）從這些男生中任取3人，記成績優秀的人數為X，求X的分布列及數學期望，下面是臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）寫出2×2列聯表，求出K²，與臨界值比較，即可得出結論．
（2）由題意知X可能取0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）2×2列聯表

	優秀	非優秀	合計
男	8	5	13
女	7	10	17
合計	15	15	30

K²=$\frac{30×（8×10-5×7）}{15×15×13×17}$≈1.222＜6.635，
∴不能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為數學競賽成績和性別有關．
（2）X可能取0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{5}{143}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{40}{143}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{70}{143}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{28}{143}$．
因此，X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{143}$	$\frac{40}{143}$	$\frac{70}{143}$	$\frac{28}{143}$

所以 E（X）=0×$\frac{5}{143}$+1×$\frac{40}{143}$+2×$\frac{70}{143}$+3×$\frac{28}{143}$=$\frac{24}{13}$．

點評 本題考查獨立性檢驗，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數學期望和分布列的求法，解題時要認真審題，是中檔題．