Question

9．班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名男同學，15名女同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出計算式即可，不
必計算出結果）
（2）隨機抽取8位，他們的數學分數從小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分數從
小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
①若規定85分以上（包括85分）為優秀，求這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均
為優秀的概率；
②若這8位同學的數學、物理分數事實上對應如表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據上表數據，由變量y與x的相關系數可知物理成績y與數學成績x之間具有較強的線性相關關系，現求y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）．
參考公式：回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中對應的回歸估計值b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，
參考數據：$\overline x=77.5$，$\overline y=84.875$，$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$≈1050，$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$≈688，．

Answer 1

分析 （1）從25名男同學中選$\frac{25}{40}×8$位，從15名女同學中選$\frac{15}{40}×8$位，即可得出樣本的種數．
（2）①從8為同學中恰有3為同學的數學與物理均為優秀，從物理的4個優秀分數中選3個與數學優秀分數對應，種數是${A}_{4}^{3}$，然后將剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，種數是${A}_{5}^{5}$，根據乘法原理可得滿足條件的種數，這8位同學的物理分數和數學分數分布對應的種數共有${A}_{8}^{8}$種，即可得出所求的概率．
②設y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，根據所給數據，可以計算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，可得y與x的線性回歸方程．

解答 解：（1）從25名男同學中選$\frac{25}{40}×8$=5位，從15名女同學中選$\frac{15}{40}×8$=3位．
可以得到${∁}_{25}^{5}$×${∁}_{15}^{3}$個不同的樣本．
（2）①從8為同學中恰有3為同學的數學與物理均為優秀，從物理的4個優秀分數中選3個與數學優秀分數對應，種數是${A}_{4}^{3}$，然后將剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，種數是${A}_{5}^{5}$，根據乘法原理可得：滿足條件的種數是${A}_{4}^{3}{A}_{5}^{5}$，這8位同學的物理分數和數學分數分布對應的種數共有${A}_{8}^{8}$種，故所求的概率P=$\frac{{A}_{4}^{3}•{A}_{5}^{5}}{{A}_{8}^{8}}$=$\frac{1}{14}$．
②設y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，根據所給數據，可以計算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，所以y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.66x+33.73．

點評 本題考查了分層抽樣、組合計算公式、乘法原理、古典概率計算公式、線性回歸方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．