Question

4．已知棱長都相等正四棱錐的側面積為16$\sqrt{3}$，則該正四棱錐內切球的表面積為（32-16$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 由棱長都相等正四棱錐S-ABCD側面積為16$\sqrt{3}$，求出棱長為4，設球心為O，四棱錐是S-ABCD，則五個幾何體：O-SAB、O-SBC、O-SDC、O-SAD、O-ABCD的體積和等于整個四棱錐的體積，而這五個幾何體的高都是球半徑r，由此能求出該正四棱錐內切球的表面積．

解答 解：設棱長都相等正四棱錐S-ABCD的棱長為a，
∵其側面積為16$\sqrt{3}$，
∴4×（$\frac{1}{2}×a×a×sin60°$）=16$\sqrt{3}$，
解得a=4，
過S作SE⊥平面ABCD，垂足為E，連結BE，
則BE=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，SE=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
設球心為O，四棱錐是S-ABCD，
則五個幾何體：O-SAB、O-SBC、O-SDC、O-SAD、O-ABCD的體積和等于整個四棱錐的體積，
而這五個幾何體的高都是球半徑r，
∴$4×（\frac{1}{3}×4\sqrt{3}）×r+\frac{1}{3}×4×4×r$=$\frac{1}{3}×（4×4）×2\sqrt{2}$，
解得r=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
該正四棱錐內切球的表面積為S=4π（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）²=（32-16$\sqrt{3}$）π．
故答案為：（32-16$\sqrt{3}$）π．

點評 本題考查正四棱錐內切球的表面積的求法，涉及到正四棱錐、球等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．