Question

18．為捍衛釣魚島及其附屬島嶼的領土主權，中國派出艦船“唐山號”、“石家莊號”和“邯鄲號”在釣魚島領海巡航．某日，正巡邏在A處的“唐山號”突然發現來自P處的疑似敵艦的某信號，發現信號時“石家莊號”和“邯鄲號”正分別位于如圖所示的B、C兩處，其中A在B的正東方向相距6海里處，C在B的北偏西30°方向相距4海里處．由于B、C比A距P更遠，因此，4秒后B、C才同時發現這一信號（該信號的傳播速度為每秒1海里），試確定疑似敵艦相對于A點“唐山號”的位置．

Answer 1

分析 由題意取A、B所在直線為x軸，線段AB的中點O為原點，建立直角坐標系，所以點P在以A、B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支上，求出點P的位置即可．

解答 解：取A、B所在直線為x軸，線段AB的中點O為原點，
建立直角坐標系．則A、B、C的坐標為：
A（ 3，0 ）、B （-3，0 ）、C （-5，2$\sqrt{3}$），（長度單位為海里）．
由已知|PB|-|PA|=4，所以點P在以A、B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支上，
其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，（x≥2）①
又B、C同時測得同一信號，即有|PB|=|PC|
所以點P又在線段BC的中垂線上x-$\sqrt{3}$y+7=0，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+7=0}\\{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=5\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即P（8，5$\sqrt{3}$），
由于k_AP=$\sqrt{3}$，
可知P在A的北偏東30°方向，相距10海里處

點評 本題考查了拋物線在實際生活中的應用，考查了分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題