Question

6．證明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$（n∈N^*），假設(shè)n=k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是（　　）

• A． 2^k+1項(xiàng)
• B． 2^k項(xiàng)
• C． k+1項(xiàng)
• D． k項(xiàng)

Answer 1

分析 首先分析題目證明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$（n∈N^*），假設(shè)n=k時(shí)成立，求當(dāng)n=k+1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)．故可以分別把n=k+1，n=k代入不等式左邊，使它們相減即可求出項(xiàng)數(shù)．

解答 解：當(dāng)n=k時(shí)不等式為：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k+1}{2}$（k∈N^*）成立
當(dāng)n=k+1時(shí)不等式左邊為1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}+\frac{1}{{2}^{k+1}+1}+…+\frac{1}{{2}^{k+2}-1}$＞$\frac{k+2}{2}$，
則左邊增加2^k+2-1-2^k+1+1=2^k+1項(xiàng)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的問(wèn)題，屬于概念性問(wèn)題，計(jì)算量小，屬于基礎(chǔ)題目．