Question

8．已知函數f（x）的導函數為f'（x），且$f（1）=\frac{1}{2}$，不等式$f'（x）≤\frac{1}{x}+x$的解集為（0，1]，則不等式$\frac{f（x）-lnx}{x^2}＞\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）-lnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，根據函數的單調性求出g（x）的單調性，從而求出答案．

解答 解：不等式$\frac{f（x）-lnx}{x^2}＞\frac{1}{2}$等價于f（x）＞lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$，
構造函數g（x）=f（x）-lnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$-x，
∵不等式$f'（x）≤\frac{1}{x}+x$的解集為（0，1]，
∴g（x）≤0，在（0，1）上恒成立，
∴g′（x）在（0，1]上單調遞減，
∴g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=f（1）-ln1-$\frac{1}{2}$=0，
∴g（x）＞0的解集為（0，1）∪（1，+∞）
故選：D

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．