Question

8．已知$\overrightarrow m=（sin（x-\frac{π}{3}）\;，\;1）\;，\;\overrightarrow n=（cosx\;，\;1）$
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求tanx值
（2）若函數f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，$x∈[{0\;，\;\frac{π}{2}}]$，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線的條件建立方程，即可求tanx值；
（2）化簡函數，結合三角函數的性質求函數f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴sin（x-$\frac{π}{3}$）=cosx，
展開化簡可得tanx=2+$\sqrt{3}$；
（2）f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+1=（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）cosx+1=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$+1，
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x-$\frac{5π}{12}$時，f（x）_max=$\frac{6-\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查向量共線的條件、三角函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．