Question

15．設函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（a+1）x+alnx，a＞0$．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）討論函數f（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數f（x）的單調區間即可；
（2）通過討論a的范圍，求出f（x）的單調區間，從而求出f（x）的極大值，判斷出函數的零點個數即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）
∵$f'（x）=x-（a+1）+\frac{a}{x}$=$\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x}$=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}（x＞0）$
當0＜a＜1時，令f'（x）＜0得a＜x＜1；令f'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，
所以函數f（x）的單調增區間為（0，a）和（1，+∞），單調減區間為（a，1）；
當a=1時，$f'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$恒成立，所以函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），無減區間；
當a＞1時，令f'（x）＜0得1＜x＜a；令f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a，
所以函數f（x）的單調增區間為（0，1）和（a，+∞），單調減區間為（1，a）．
（2）由（1）可知，當0＜a＜1時，
函數f（x）的單調增區間為（0，a）和（1，+∞），單調減區間為（a，1），
所以$f{（x）_{極大值}}=f（a）=-\frac{1}{2}{a^2}-a+alna＜0$，$f{（x）_{極小值}}=f（1）=-\frac{1}{2}-a＜0$，
注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，
所以函數f（x）有唯一零點，當a=1時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又注意到$f（1）=-\frac{3}{2}＜0$，f（4）=ln4＞0所以函數f（x）有唯一零點；
當a＞1時，函數f（x）的單調遞增是（0，1）和（a，+∞）上，單調遞減是（1，a）上，
所以$f{（x）_{極大值}}=f（1）=-\frac{1}{2}-a＜0$，$f{（x）_{極小值}}=f（a）=-\frac{1}{2}{a^2}-a+alna＜0$，
注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，
所以函數f（x）有唯一零點，
綜上，函數f（x）有唯一零點．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．