Question

10．定義在R上的函數y=f（x）滿足：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x），則f（2015）=-1．

Answer 1

分析 根據f（1+x）=f（1-x）即可得出f（-x）=f（x+2），而f（-x）=-f（x），從而可得出f（x）=f（x+4），這便說明f（x）是周期為4的周期函數，從而可得出f（2015）=f（-1），通過條件可求出f（-1），從而可得出f（2015）的值．

解答 解：根據條件：
f（x）關于x=1對稱，且f（-x）=-f（x）；
∴f（-x）=f（x+2）=-f（x）；
∴f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
∴f（x）是以4為周期的周期函數；
∴$f（2015）=f（4•504-1）=f（-1）=sin（-\frac{π}{2}）=-1$．
故答案為：-1．

點評 考查由f（a-x）=f（b+x）可得出f（x）關于$x=\frac{a+b}{2}$對稱，并可得到f（-x）=f（a+b+x），以及周期函數的定義，已知函數求值的方法．