Question

19．在經濟學中，函數f（x）的邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生產100臺報警系統裝置．生產x臺的收入函數為R（x）=3000x-20x²（單位元），其成本函數為C（x）=600x+2000（單位元），利潤等于收入與成本之差．
①求出利潤函數p（x）及其邊際利潤函數Mp（x）
②求出的利潤函數p（x）及其邊際利潤函數Mp（x）是否具有相同的最大值；
③你認為本題中邊際利潤函數Mp（x）最大值的實際意義．

Answer 1

分析 ①由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數p（x），由“邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數．
②由二次函數法研究p（x）的最大值，由一次函數法研究Mp（x），對照結果即可．
③Mp（x）最大值意義在于它顯示出了，利潤的最大增量．當從生產0件產品到生產1件產品的過程中利潤增量由0變到2480，Mp（x）是相對簡單函數，能夠很明了的標示利潤與產量的關系．

解答 解：①根據題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2400x-2000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2400（x+1-x）
=-40x+2380（0＜x≤100，x∈N^*）； 5分
②p（x）=-20x²+2400x-2000
=-20（x-60）²+74000
∴當x=60時，函數最大值為：74000
∵Mp（x）=-40x+2380為減函數，
∴當x=1時，函數最大值為：2340． 10分
故不具有相等的最大值．
③、邊際利潤函數取最大值時，說明生產第二臺機器與生產第一臺的利潤差最大.12分．

點評 本題考查函數模型的建立和應用，涉及了函數的最值，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．