Question

18．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與直線y=-2的兩個相鄰公共點之間的距離等于π．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）化簡；因為f（x）的圖形與y=-2的兩個相鄰公共點之間的距離等于π，得知：T=π．
（2）令 t=2x$+\frac{π}{6}$，t∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]；h（t）=2sint在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]上單調遞減，從而求得f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）對函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）化簡得：
f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），f（x）_min=-2
又因為f（x）的圖形與y=-2的兩個相鄰公共點之間的距離等于π，得知：T=π
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（2）∵x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，∴$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
令 t=2x$+\frac{π}{6}$，t∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]；
h（t）=2sint在[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]上單調遞減，
所以，h（t）∈[-1，2]．
故f（x）的取值范圍為：[-1，2]．

點評 本題主要考查了三角函數的化簡、圖形特征以及函數的單調性求法，屬基礎題．