Question

4．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦點為（2$\sqrt{2}$，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由右焦點為（2$\sqrt{2}$，0）則c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=4，即可求得橢圓G的方程；
（2）設直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，則中點坐標公式x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$，由題意可知：PE⊥AB，PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得：m=2，即可求得直線AB的方程．

解答 解：（1）由橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由右焦點為（2$\sqrt{2}$，0）則c=2$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a=2$\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=4，
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
（2）設直線l的方程為y=x+m，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB中點為E（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x²+6mx+3m²-12=0，①
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，
由中點坐標公式可知：x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$，
∵AB是等腰△PAB的底邊，
∴PE⊥AB．
∴PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得：m=2，
∴直線AB方程是：x-y+2=0．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，等腰三角形的性質，考查計算能力，屬于中檔題．