Question

16．設函數f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$，其中向量$\overrightarrow m$=（2cosx，1），$\overrightarrow n$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期與單調遞減區間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求a．

Answer 1

分析 （1）根據向量數量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式，正弦函數的單調性即可得解．
（2）由已知可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結合范圍2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），可得$A=\frac{π}{3}$，利用三角形面積公式可求c，進而利用余弦定理即可求得a的值．

解答 解：（1）根據向量數量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式可得：$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
故周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
再由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ\;，\;k∈Z$，
可得單調減區間為$[\frac{π}{6}+kπ\;，\;\frac{2π}{3}+kπ]\;，\;k∈Z$；
（2）由f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
由于：A∈（0，π），可得：2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），可得：2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
可得：$A=\frac{π}{3}$，
所以：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×c×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得：c=2，
由余弦定理可得：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA=3⇒a=\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了平面向量數量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式，周期公式，正弦函數的單調性，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．