Question

8．某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數據作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統計量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x．根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：
（ⅰ）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）}$，$\stackrel{∧}{α}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據散點圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關于w的線性回歸方程，根據公式求出w，問題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，
（ii）求出預報值得方程，根據函數的性質，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，$y=c+d\sqrt{x}$ 適合作為年銷售y 關于年宣傳費用x 的回歸方程類型．…（2分）
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關于w的線性回歸方程，由于$\stackrel{∧}p9vv5xb5$=$\frac{108.6}{1.6}$68，
$\stackrel{∧}{c}$=563-68×6.8=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y關于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$．
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，當x=49時，年銷售量y的預報值$\stackrel{∧}{y}$═100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預報值$\stackrel{∧}{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根據（Ⅱ）的結果可知，年利潤z的預報值$\stackrel{∧}{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大．…（12分）

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關鍵，屬于中檔題．