Question

12．已知等差數列{a_n}中，a₂+a₄=10，a₅=9，數列{b_n}中，b₁=a₁，b_n+1=b_n+a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）求出首項的首項與公差，即可求解數列的通項公式．
（2）利用裂項法直接求解數列的和即可．
（3）利用已知條件轉化為等差數列求和，求解即可．

解答 解：（1）設a_n=a₁+（n-1）d，
∵$\left\{\begin{array}{l}{a_2}+{a_4}=10\\{a_5}=9\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+4d=10\\{a_1}+4d=9\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1，
∴${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d={n^2}$．
（2）${c_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
T_n=c₁+c₂+…+c=$\frac{1}{2}[{（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）}]$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．
（3）b₁=a₁=1，b_n+1=b_n+a_n=b_n+2n-1，
∴b₂=b₁+1，b₃=b₂+3=b₁+1+3，
b_n=b₁+1+2+…+（2n-3）=1+（n-1）²=n²-2n+2（n≥2）
又n=1時，n²-2n+2=1=a₁，
∴數列{b_n}的通項${b_n}={n^2}-2n+2$．

點評 本題考查數列求和，裂項法以及等差數列通項公式的應用，考查計算能力．