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13.某學校為了解學校食堂的服務情況,隨機調查了50名就餐的教師和學生.根據這50名師生對餐廳服務質量進行評分,繪制出了頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據分組為[40,50),[50,60),…,[90,100].
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)從評分在[40,60)的師生中,隨機抽取2人,求此人中恰好有1人評分在[40,50)上的概率;
(3)學校規(guī)定:師生對食堂服務質量的評分不得低于75分,否則將進行內部整頓,試用組中數據估計該校師生對食堂服務質量評分的平均分,并據此回答食堂是否需要進行內部整頓.

分析 (1)由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1,能求出a的值.
(2)設被抽取的2人中恰好有一人評分在[40,50)上為事件A.樣本中評分在[40,50)的師生人數為2,記為1,2號樣本中評分在[50,60)的師生人數為3,記為3,4,5號,由此利用列舉法能求出從5人中任意取2人,2人中恰好有1人評分在[40,50)上的概率.
(3)求出服務質量評分的平均分為76.2>75,從而得到食堂不需要內部整頓.

解答 解:(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1,
解得a=0.006.…(4分)
(2)設被抽取的2人中恰好有一人評分在[40,50)上為事件A.…(5分)
因為樣本中評分在[40,50)的師生人數為:m1=0.004×10×50=2,記為1,2號
樣本中評分在[50,60)的師生人數為:m2=0.006×10×50=3,記為3,4,5號…(7分)
所以從5人中任意取2人共有:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),
(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10種等可能情況,
2人中恰有1人評分在[40,50)上有:
(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)共6種等可能情況.
∴2人中恰好有1人評分在[40,50)上的概率為P(A)=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$.…(10分)
(3)服務質量評分的平均分為:
$\overline{x}$=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2.…(13分)
∵76.2>75,∴食堂不需要內部整頓.…(14分)

點評 本題考查平均數、概率的求法,考查頻率分布直方圖的應用,考查運算求解能力,考查函數與方程思想、數形結合思想,是基礎題.

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