Question

13．某學校為了解學校食堂的服務情況，隨機調查了50名就餐的教師和學生．根據這50名師生對餐廳服務質量進行評分，繪制出了頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組為[40，50），[50，60），…，[90，100]．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）從評分在[40，60）的師生中，隨機抽取2人，求此人中恰好有1人評分在[40，50）上的概率；
（3）學校規(guī)定：師生對食堂服務質量的評分不得低于75分，否則將進行內部整頓，試用組中數據估計該校師生對食堂服務質量評分的平均分，并據此回答食堂是否需要進行內部整頓．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a的值．
（2）設被抽取的2人中恰好有一人評分在[40，50）上為事件A．樣本中評分在[40，50）的師生人數為2，記為1，2號樣本中評分在[50，60）的師生人數為3，記為3，4，5號，由此利用列舉法能求出從5人中任意取2人，2人中恰好有1人評分在[40，50）上的概率．
（3）求出服務質量評分的平均分為76.2＞75，從而得到食堂不需要內部整頓．

解答 解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，
解得a=0.006．…（4分）
（2）設被抽取的2人中恰好有一人評分在[40，50）上為事件A．…（5分）
因為樣本中評分在[40，50）的師生人數為：m₁=0.004×10×50=2，記為1，2號
樣本中評分在[50，60）的師生人數為：m₂=0.006×10×50=3，記為3，4，5號…（7分）
所以從5人中任意取2人共有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），
（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10種等可能情況，
2人中恰有1人評分在[40，50）上有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6種等可能情況．
∴2人中恰好有1人評分在[40，50）上的概率為P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．…（10分）
（3）服務質量評分的平均分為：
$\overline{x}$=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）
∵76.2＞75，∴食堂不需要內部整頓．…（14分）

點評 本題考查平均數、概率的求法，考查頻率分布直方圖的應用，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想，是基礎題．