Question

12．已知函數F（x）=lnx（x＞1）的圖象與函數G（x）的圖象關于直線y=x對稱，若函數f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （1-e，1）
• B． （1-e，∞）
• C． （1-e，1]
• D． （-∞，1-e）∪[1，+∞）

Answer 1

分析 求出函數G（-x）的解析式，利用函數f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點，得到兩個函數的圖象沒有公共點，轉化求解即可．

解答 解：函數F（x）=lnx（x＞1）的圖象與函數G（x）的圖象關于直線y=x對稱，
可得G（x）=e^x，（x＞0），
則G（-x）=e^-x，（x＜0），
函數f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點，
即f（x）=（k-1）x-e^-x，沒有零點，也就是y=（k-1）x，與y=e^-x，（x＜0），
沒有公共點．
y′=-e^-x，設切點坐標為：（m，e^-m），
可得：k-1=-e^-m=$\frac{{e}^{-m}}{m}$，解得m=-1，
此時k=1-e，
函數f（x）=（k-1）x-G（-x）無零點，則k＞1-e．
故選：B．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的零點以及方程根的關系，考查數形結合以及轉化思想的應用．