Question

4．已知函數f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx．
（1）將函數f（2x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數g（x）的圖象，若$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，求函數g（x）的值域；
（2）已知a，b，c分別為銳角三角形ABC中角A，B，C的對邊，且滿足b=2，f（A）=$\sqrt{2}+1，\sqrt{3}$a=2bsinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據三角函數平移變換的規律，求解出g（x），$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）利用f（A）=$\sqrt{2}+1，\sqrt{3}$a=2bsinA，b=2，求出角A和a的大小，可得求△ABC的面積．

解答 解：函數f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx=cos2x+（1-cos2x）+2sinx=1+2sinx，
（1）函數f（2x）=1+2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數g（x）=1+2sin2（x$-\frac{π}{6}$）．
∴$g（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）+1$，
∵$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
當$x=\frac{π}{12}$時，g（x）_min=0；
當$x=\frac{5}{12}π$時，g（x）_max=3
∴函數g（x）的值域為[0，3]．
（2）由已知$\sqrt{3}a=2bsinA$及正弦定理得：$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$B=\frac{π}{3}$，
由$f（A）=\sqrt{2}+1$可得$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，從而$A=\frac{π}{4}$
由正弦定理得：$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×2×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡和平移變換是解決本題的關鍵．同時考查了正弦定理的運用．屬于中檔題．