Question

19．已知向量$\vec a$=（cosα，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinα，$\frac{1}{2}$）
若$\vec a∥\vec b$，則tan（α-$\frac{π}{4}$）=-3．
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，則tan（α-$\frac{π}{4}$）=0．

Answer 1

分析 利用向量共線的坐標運算可求得tanα=-$\frac{1}{2}$，再利用兩角差的正切即可求得tan（α-$\frac{π}{4}$）；由垂直向量的坐標運算可求得α=kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z），從而可得tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵$\vec a$=（cosα，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinα，$\frac{1}{2}$），
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
則$\frac{1}{2}$cosα+sinα=0，
解得：tanα=-$\frac{1}{2}$，
所以，tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-tan\frac{π}{4}}{1+tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{-\frac{1}{2}-1}{1-\frac{1}{2}}$=-3；
$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，則cosαsinα-$\frac{1}{2}$=0，
即sin2α=1．
∴2α=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴α=kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z），
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=tankπ=0．
故答案為：-3，0．

點評 本題考查向量的坐標運算，著重考查向量的共線與垂直的問題，考查向量的數量積運算、兩角差的正切，考查計算能力，屬于中檔題．