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2.已知函數$f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$.
(1)當$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$時,求函數y=f(x)的值域;
(2)已知ω>0,函數$g(x)=f({\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}})$,若函數g(x)的最小正周期是π,求ω的值和函數g(x)的增區間.

分析 (1)利用二倍角公式和輔助角公式對已知函數解析式進行化簡得到f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+2,進而根據正弦函數的性質求得函數的值域.
(2)將$g(x)=f({\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}})$代入(1)中的函數解析式得到g(x)=sin(ωx+$\frac{π}{3}$)+2,結合正弦函數的性質求ω的值和函數g(x)的增區間.

解答 解:(1)$f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{3}{2}$
=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+2,
即f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+2,
∵$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$,
∴2x+$\frac{π}{6}$$∈[{-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}}]$,
∴-$\frac{1}{2}$≤sin(2x+$\frac{π}{6}$)≤1,
∴$\frac{3}{2}$≤sin(2x+$\frac{π}{6}$)+2≤3,即當$x∈[{-\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$時,函數y=f(x)的值域是[$\frac{3}{2}$,3];
(2)$g(x)=f({\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}})=sin({ωx+\frac{π}{3}})+2$,
所以$T=\frac{2π}{ω}=π,ω=2$,
因為$\begin{array}{l}-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ,-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ\end{array}$,
所以增區間為[-$\frac{5π}{12}$+kπ,$\frac{π}{12}$+kπ],k∈Z.

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質,利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵.

練習冊系列答案
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