Question

7．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F₁，F₂，P是它們的一個交點，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則當e₁e₂取最小值時，e₁，e₂分別為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設出橢圓與雙曲線的標準方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$（a₁＞0，b₁＞0），利用定義可得：m+n=2a，m-n=2a₁，解出m，n．利用余弦定理可得關于e₁，e₂的等式，再由基本不等式求得當e₁e₂取最小值時，e₁，e₂的值．

解答 解：不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$（a₁＞0，b₁＞0），
設|PF₁|=m，|PF₂|=n．m＞n．
則m+n=2a，m-n=2a₁，
∴m=a+a₁，n=a-a₁．
cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-4{c}^{2}}{2mn}=\frac{1}{2}$，
化為：$（a+{a}_{1}）^{2}+（a-{a}_{1}）^{2}-4{c}^{2}$=（a+a₁）（a-a₁）．
∴${a}^{2}+3{{a}_{1}}^{2}$-4c²=0，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
∴4≥2$\sqrt{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}•\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}}$，則$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}≤\frac{2}{\sqrt{3}}$，即${e}_{1}{e}_{2}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，當且僅當e₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，e₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時取等號．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質、余弦定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．