Question

15．已知△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓為⊙H．若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 先求出圓H的方程，再根據直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，設出直線方程，利用勾股定理，即可求直線l的方程

解答 解：線段AB的垂直平分線方程為x=0，線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0，
所以外接圓圓心為H（0，3），半徑為$\sqrt{{1^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$，
故⊙H的方程為x²+（y-3）²=10．
設圓心H到直線l的距離為d，
因為直線l被⊙H截得的弦長為2，所以$d=\sqrt{{{（\sqrt{10}）}^2}-1}=3$．
當直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x=3為所求；
當直線l不垂直于x軸時，設直線方程為y-2=k（x-3），則$\frac{|-3k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=3$，解得$k=\frac{4}{3}$．
綜上，直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意待定系數法及點到直線的公式的合理運用．