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6.用“分析法”證明:當a>1,$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$<2$\sqrt{a}$.

分析 分析使不等式$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$<2$\sqrt{a}$成立的充分條件,一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備,從而不等式得證.

解答 證明:因為$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}$>0,$2\sqrt{a}$>0,
所以只要證${(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})^2}$<${(2\sqrt{a})^2}$,
即要證$2a+2\sqrt{{a^2}-1}$<4a,
即要證$\sqrt{{a^2}-1}$<a
即要證a2-1<a2
而這顯然成立,所以原命題成立.…..(14分)

點評 本題主要考查利用分析法證明不等式,利用用分析法證明不等式的關鍵是尋找使不等式成立的充分條件,直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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