Question

6．用“分析法”證明：當a＞1，$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 分析使不等式$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．

解答 證明：因為$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}$＞0，$2\sqrt{a}$＞0，
所以只要證${（\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}）^2}$＜${（2\sqrt{a}）^2}$，
即要證$2a+2\sqrt{{a^2}-1}$＜4a，
即要證$\sqrt{{a^2}-1}$＜a
即要證a²-1＜a²，
而這顯然成立，所以原命題成立．…..（14分）

點評 本題主要考查利用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止，屬于中檔題．